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    goufo

    我感觉我暑假结束可以完成任务😂

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    goufo

    感觉在灌水区发比较合理。。。
    首先,论坛支持tex,这个我知道。比如 x \sqrt {x} ,然而,在某些地方有问题了。
    比如:
    我在输入累乘使用\prod的时候,一开始输入是1i<jm\prod_{1\le i < j \le m}发现显示并不是公式。之后在一个操作之后竟然就变了。把其中的 '<' 去掉或者改成\le。。。“\prod_{1\le i \le j \le m}”,效果如下:
    1ijm\prod_{1\le i \le j \le m}
    还有,在我输入矩阵的时候(这个我到现在都没弄清什么情况),我的输入是:
    1a1a12a1n11a2a22a2n11a3a32a3n11amam2amn1 \left| \begin{matrix} 1 & a_1 & a_1^2 &\cdots & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & a_2^2 &\cdots & a_2^{n-1} \\ 1 & a_3 & a_3^2 &\cdots & a_3^{n-1} \\ \vdots &\vdots & \vdots&\ddots & \vdots\\ 1 & a_m & a_m^2 &\cdots & a_m^{n-1} \\ \end{matrix} \right|
    结果如你所见。。。

    然而我在atom的效果是0_1502860029864_深度截图_选择区域_20170816130637.png
    求大佬帮忙。。。

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    goufo

    @bintou 然而我弄过来似乎不行?我研究研究。。。

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    goufo

    来来来

    求Vandemonde determinant

    Vandemonde determinant :
    V=1a1a12a1n11a2a22a2n11a3a32a3n11amam2amn1 V= \left| \begin{matrix} 1 \quad & a_1\quad & a_1^2\quad &\cdots \quad& a_1^{n-1} \\ 1\quad & a_2 \quad& a_2^2 \quad&\cdots \quad& a_2^{n-1} \\ 1 \quad& a_3\quad & a_3^2 \quad&\cdots\quad & a_3^{n-1} \\ \vdots \quad&\vdots \quad& \vdots\quad&\ddots\quad & \vdots\\ 1 \quad& a_m \quad & a_m^2\quad &\cdots \quad& a_m^{n-1} \end{matrix} \right|

    V的行列式的值为:</br>

    假设 m=n ,那么:
    V=1i<j<n(ajai) V=\prod_{1\le i< j<\le n}(a_j-a_i)

    下面是演算过程:

    1. 根据行列式的性质(将一行(列)的k倍加进另一行(列)里,行列式的值不变):
      先把每一列减上其前一列的a1a_1倍得:

    V=10001a2a1a2(a2a1)a2n2(a2a1)1a3a1a3(a3a1)a3n2(a3a1)1ama1am(ama1)amn2(ama1) V= \left| \begin{matrix} 1 \quad& 0 \quad& 0 \quad &\cdots \quad& 0 \\ 1 \quad& a_2-a_1 \quad& a_2(a_2-a_1)\quad &\cdots \quad& a_2^{n-2}(a_2-a_1) \\ 1 \quad& a_3-a_1 \quad& a_3(a_3-a_1) \quad&\cdots \quad& a_3^{n-2}(a_3-a_1) \\ \vdots \quad&\vdots \quad& \vdots\quad&\ddots\quad & \vdots\\ 1 \quad& a_m-a_1 \quad & a_m(a_m-a_1)\quad &\cdots \quad& a_m^{n-2}(a_m-a_1) \end{matrix} \right|

    1. 此时把上述行列式按照第一行展开,得:

    V=1×a2a1a2(a2a1)a2n2(a2a1)a3a1a3(a3a1)a3n2(a3a1)ama1am(ama1)amn2(ama1) V= 1 \times \left| \begin{matrix} a_2-a_1 \quad& a_2(a_2-a_1) \quad&\cdots\quad & a_2^{n-2}(a_2-a_1) \\ a_3-a_1 \quad& a_3(a_3-a_1)\quad &\cdots \quad& a_3^{n-2}(a_3-a_1) \\ \vdots \quad& \vdots\quad&\ddots \quad& \vdots\\ a_m-a_1 \quad& a_m(a_m-a_1)\quad &\cdots\quad & a_m^{n-2}(a_m-a_1) \end{matrix} \right|

    1. 再把上述行列式的公因数提出得(在行列式中,某一行(列)有公因子k,则可以提出k):
      V=(a2a1)(a3a1)(ama1)1a2a2n11a3a3n11amamn1 V = (a_2-a_1) (a_3-a_1)\cdots(a_m-a_1) \left| \begin{matrix} \quad 1\quad& \quad a_2 \quad & \quad\cdots\quad&\quad a_2^{n-1}\\ 1&a_3&\cdots &\quad a_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots&\ddots &\vdots \\ 1&a_m&\cdots&\quad a_m^{n-1} \end{matrix} \right|

    此时的V变成了 1<im(aia1) \prod_{1< i \le m}(a_i-a_1) 乘一个 (n-1)×(m-1) 的Vandemonde determinant , 将 (n-1)×(m-1) 的Vandemonde determinant重复1-3操作.

    最终得结果为:

    V=1i<j<n(ajai)V=\prod_{1\le i< j<\le n}(a_j-ai)

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