我感觉我暑假结束可以完成任务😂

感觉在灌水区发比较合理。。。
首先，论坛支持tex，这个我知道。比如　$\sqrt {x}$，然而，在某些地方有问题了。
比如：
我在输入累乘使用\prod的时候，一开始输入是$\prod_{1\le i < j \le m}$发现显示并不是公式。之后在一个操作之后竟然就变了。把其中的 '<' 去掉或者改成\le。。。“\prod_{1\le i \le j \le m}”，效果如下：
$\prod_{1\le i \le j \le m}$
还有，在我输入矩阵的时候（这个我到现在都没弄清什么情况），我的输入是：
$\left| \begin{matrix} 1 & a_1 & a_1^2 &\cdots & a_1^{n-1} \\ 1 & a_2 & a_2^2 &\cdots & a_2^{n-1} \\ 1 & a_3 & a_3^2 &\cdots & a_3^{n-1} \\ \vdots &\vdots & \vdots&\ddots & \vdots\\ 1 & a_m & a_m^2 &\cdots & a_m^{n-1} \\ \end{matrix} \right|$
结果如你所见。。。

然而我在atom的效果是
求大佬帮忙。。。

@bintou 然而我弄过来似乎不行？我研究研究。。。

来来来

求Vandemonde determinant

Vandemonde determinant :
$V= \left| \begin{matrix} 1 \quad & a_1\quad & a_1^2\quad &\cdots \quad& a_1^{n-1} \\ 1\quad & a_2 \quad& a_2^2 \quad&\cdots \quad& a_2^{n-1} \\ 1 \quad& a_3\quad & a_3^2 \quad&\cdots\quad & a_3^{n-1} \\ \vdots \quad&\vdots \quad& \vdots\quad&\ddots\quad & \vdots\\ 1 \quad& a_m \quad & a_m^2\quad &\cdots \quad& a_m^{n-1} \end{matrix} \right|$

V的行列式的值为：</br>

假设 m=n ，那么：
$V=\prod_{1\le i< j<\le n}(a_j-a_i)$

下面是演算过程：

1. 根据行列式的性质(将一行（列）的k倍加进另一行（列）里，行列式的值不变):
   先把每一列减上其前一列的$a_1$倍得：

$V= \left| \begin{matrix} 1 \quad& 0 \quad& 0 \quad &\cdots \quad& 0 \\ 1 \quad& a_2-a_1 \quad& a_2(a_2-a_1)\quad &\cdots \quad& a_2^{n-2}(a_2-a_1) \\ 1 \quad& a_3-a_1 \quad& a_3(a_3-a_1) \quad&\cdots \quad& a_3^{n-2}(a_3-a_1) \\ \vdots \quad&\vdots \quad& \vdots\quad&\ddots\quad & \vdots\\ 1 \quad& a_m-a_1 \quad & a_m(a_m-a_1)\quad &\cdots \quad& a_m^{n-2}(a_m-a_1) \end{matrix} \right|$

2. 此时把上述行列式按照第一行展开，得：

$V= 1 \times \left| \begin{matrix} a_2-a_1 \quad& a_2(a_2-a_1) \quad&\cdots\quad & a_2^{n-2}(a_2-a_1) \\ a_3-a_1 \quad& a_3(a_3-a_1)\quad &\cdots \quad& a_3^{n-2}(a_3-a_1) \\ \vdots \quad& \vdots\quad&\ddots \quad& \vdots\\ a_m-a_1 \quad& a_m(a_m-a_1)\quad &\cdots\quad & a_m^{n-2}(a_m-a_1) \end{matrix} \right|$

3. 再把上述行列式的公因数提出得(在行列式中，某一行（列）有公因子k，则可以提出k)：
   $V = (a_2-a_1) (a_3-a_1)\cdots(a_m-a_1) \left| \begin{matrix} \quad 1\quad& \quad a_2 \quad & \quad\cdots\quad&\quad a_2^{n-1}\\ 1&a_3&\cdots &\quad a_3^{n-1}\\ \vdots & \vdots&\ddots &\vdots \\ 1&a_m&\cdots&\quad a_m^{n-1} \end{matrix} \right|$

此时的Ｖ变成了 $\prod_{1< i \le m}(a_i-a_1)$ 乘一个 (n-1)×(m-1) 的Vandemonde determinant , 将 (n-1)×(m-1) 的Vandemonde determinant重复1-3操作．

最终得结果为：

$V=\prod_{1\le i< j<\le n}(a_j-ai)$

准备怼第三章。